2.1 先建立“洋葱模型”

想象把药材横切开，像洋葱一样，切成一圈一圈的薄环（薄圆筒）。我们盯住其中一个薄环研究它。

设：

• rr = 到药材中心的距离（半径方向的位置，单位：米）。r=0r=0 是中心，r=0.02r=0.02 是表面；

• tt = 时间（单位：秒）。

我们想知道的是：

T(r,t)和C(r,t)T(r,t)和C(r,t)

读作：“在时刻 tt，距离中心 rr 那一圈的温度/水分浓度”。

TT 和 CC 各自都满足一个“变化规律”，这个规律就是偏微分方程（PDE）。别被名字吓到——它其实就是一条“记账规则”：某一圈的温度变化 = 流进的热量 − 流出的热量（能量守恒），水分同理（质量守恒）。

2.2 第一步：一圈薄环能存多少热？

设薄环位置在半径 rr 处，厚度是个小量 ΔrΔr，药材长 L=0.25L=0.25 m（沿轴向，热量不走这个方向，只是用来算体积）。

这个薄环的体积：

V=2πr⋅Δr⋅LV=2πr⋅Δr⋅L

（就是圆环的周长 2πr2πr × 厚度 ΔrΔr × 长度 LL，想象把圆环剪开摊平，是一个长条。）

它吸收热量后升温，升温所需的热量：

Q=ρV⏟质量×cp⏟比热容×ΔT⏟升了多少度Q=质量ρV​​×比热容cp​​​×升了多少度ΔT​​

• ρρ = 密度（kg/m³）：单位体积有多重；

• cpcp​ = 比热容（J/(kg·K)）：1 kg 物质升高 1℃ 要多少焦耳；

• 三者相乘 = 这圈东西升温 ΔTΔT 度需要的能量（焦耳）。

2.3 第二步：有多少热量流进/流出这一圈？

关键规律（傅里叶定律）——这就是第 1 讲的“规律①②”的数学版：

热流过的“快慢”（热流量，单位瓦特）正比于温差 ÷ 距离，乘上材料的导热能力和传热面积。

q=−k⋅A⋅∂T∂rq=−k⋅A⋅∂r∂T​

逐个解释：

• qq：单位时间流过的热量（W，瓦特）；

• kk：导热系数（W/(m·K)）——第 1 讲的规律②，材料“传热的本事”；

• AA：热量流过的横截面积。在圆柱里，热量沿半径方向流，流过的面是一个圆筒侧面，面积 A=2πrLA=2πrL——注意它跟 rr 有关！越靠外，圆筒越大，流过的热量通道越宽。这是圆柱问题比平板问题多出来的讲究；

• ∂T∂r∂r∂T​：温度沿半径方向的变化率（每往前 1 米，温度变多少度）。这一项就是“温差驱动力”：里面热外面冷时它是负的，热往里流；外面热里面冷时它是正的，热往外流；

• 前面的负号：热量总是流向温度低的方向，符号保证方向正确。

现在对薄环记账：

• 从内表面（半径 rr）流进来的热量：q进q进​

• 从外表面（半径 r+Δrr+Δr）流出去的热量：q出q出​

这一圈净赚的热量 = q进−q出q进​−q出​。净赚的热量让它升温。

2.4 第三步：记账，得到热传导方程

升温储存的热量 = 流进 − 流出

ρ (2πrLΔr) cp ∂T∂t⏟这圈升温存的热=q进−q出这圈升温存的热ρ(2πrLΔr)cp​∂t∂T​​​=q进​−q出​

∂T∂t∂t∂T​ 读作“温度随时间的变化率”，就是“这圈温度升得多快”。

把傅里叶定律代进去，q进q进​ 在 rr 处取值、q出q出​ 在 r+Δrr+Δr 处取值，两边除以 2πrLΔr2πrLΔr，让 ΔrΔr 趋于零，就得到（推导细节你不用自己算，微积分帮你做了，物理意义你已经完全掌握了）：

  ρcp∂T∂t=1r∂∂r(k r ∂T∂r)  ρcp​∂t∂T​=r1​∂r∂​(kr∂r∂T​)​

怎么读这个方程（先不慌，拆开看）：

ρcp∂T∂t⏟左边：这一圈存热的速度=1r∂∂r(k r ∂T∂r)⏟右边：热量净流入的强度左边：这一圈存热的速度ρcp​∂t∂T​​​=右边：热量净流入的强度r1​∂r∂​(kr∂r∂T​)​​

右边那一坨，剥开三层看：

• 最里面 ∂T∂r∂r∂T​：温差驱动力；

• 乘上 kk：材料导热本事；

• 外面的 1r∂∂r(r ⋅)r1​∂r∂​(r ⋅)：这是圆柱特有的几何修正——因为越往外圈面积越大（A=2πrLA=2πrL），热流到外圈会被“摊薄”。这个 1rr1​ 项就是圆柱和一维平板方程的唯一区别。

如果材料均匀（kk 是常数），方程化简为：

∂T∂t=kρcp⏟= α , 热扩散率⋅1r∂∂r(r∂T∂r)∂t∂T​==α, 热扩散率ρcp​k​​​⋅r1​∂r∂​(r∂r∂T​)

α=k/(ρcp)α=k/(ρcp​) 叫热扩散率——“热在材料里跑得快不快”。用附录2数据算一下：

α=0.36820×2600≈1.7×10−7 m2/sα=820×26000.36​≈1.7×10−7 m2/s

这个数很小（铜大约是 10−410−4，是药材的 600 倍），说明热在药材里走得非常慢——这也预告了为什么烘干要花好几天。

2.5 水分方程：一模一样的套路！

第 1 讲说过，水分扩散和热传导是“同构”的物理现象，所以方程长得几乎一样。把上面的推导逐字替换：

对应地，菲克扩散定律（傅里叶定律的水分版）：

qC=−D⋅A⋅∂C∂rqC​=−D⋅A⋅∂r∂C​

qCqC​ 是水分的流量（kg/s），DD 是扩散系数（m²/s），A=2πrLA=2πrL 同样是圆筒面积。

照搬同样的记账（这圈水分的增加 = 流进 − 流出），得到：

  ∂C∂t=1r∂∂r(D r ∂C∂r)  ∂t∂C​=r1​∂r∂​(Dr∂r∂C​)​

结构和热方程完全一样，只是：

• 没有 ρcpρcp​ 那一项（我们追踪的是浓度本身的变化，不是温度）；

• DD 代替了 kk。

2.6 现在，两个方程合在一起——这就是题目要求你建立的核心模型！

{ρcp∂T∂t=1r∂∂r(k r ∂T∂r)（温度方程）∂C∂t=1r∂∂r(D r ∂C∂r)（水分方程）0≤r≤0.02 m⎩⎨⎧​ρcp​∂t∂T​=r1​∂r∂​(kr∂r∂T​)∂t∂C​=r1​∂r∂​(Dr∂r∂C​)​（温度方程）（水分方程）​0≤r≤0.02 m

问题1 里 ρ,cp,kρ,cp​,k 是常数，D=7×10−9e−0.89CD=7×10−9e−0.89C 只跟 CC 有关；
问题2 里四个参数全按附录3的公式随 C,TC,T 变化，并且两个方程耦合了：

• DD 里有 e−3850/Te−3850/T，温度高 → 水扩散快 → 热影响水；

• cp,kcp​,k 里有 CC，水分多 → 导热快、热容大 → 水影响热。

所以必须两个方程同时解，谁也不能单独解出来。

2.7 只有方程还不够——还差“边角条件”

一个方程只是“变化的规则”，要算出具体数值，还必须告诉它从什么状态开始（初始条件）和边界上发生什么（边界条件）。这就像：知道驾驶规则还不够，还得知道出发点在哪、路口遇到什么情况。

① 初始条件（t=0t=0 时）

题目给定：

T(r,0)=28 ℃,C(r,0)=2.55 kg/kgT(r,0)=28 ℃,C(r,0)=2.55 kg/kg

整根药材都是均匀的 28℃、含水量 2.55。

② 中心条件（r=0r=0）

中心是一个点，热量/水分没有方向可流（四面八方对称），所以：

∂T∂r∣r=0=0,∂C∂r∣r=0=0∂r∂T​​r=0​=0,∂r∂C​​r=0​=0

通俗说：中心既不存热也不漏水，它只是个“中转站”，直通通地从中心流出去的东西为零。

③ 表面条件（r=0.02r=0.02 m）——最关键的一条！

表面是药材和热空气“交接班”的地方。表面流进的热量必须等于空气交给它的热量（不能凭空多出来）：

−k ∂T∂r∣r=R⏟表面往里导的热=h [Tair(t)−TR]⏟空气对流传给表面的热表面往里导的热−k∂r∂T​​r=R​​​=空气对流传给表面的热h[Tair​(t)−TR​]​​

• h=25h=25 W/(m²·K)：对流换热系数（第 1 讲规律⑥的热量版）；

• Tair(t)Tair​(t)：烘房空气温度——附件1查表（它随时间变！）；

• TRTR​：表面温度（未知，要解出来）。

读作：热空气和表面的温差越大，交给表面的热越多；这些热再往药材里导。

水分的同款条件：

−D ∂C∂r∣r=R=hm[CR−Cair(t)]−D∂r∂C​​r=R​=hm​[CR​−Cair​(t)]

• hm=8×10−7hm​=8×10−7 m/s：对流传质系数；

• Cair(t)Cair​(t)：烘房空气水分浓度——附件1查表；

• 意思是：表面水分浓度比空气高多少，水就跑多快。

这类边界条件在数学上叫第三类边界条件（Robin 边界）——它把“物体内部的导热”和“表面的对流”焊在一起。考试/论文里能写清它的物理意义，就是加分点。

2.8 本讲小结

到此，问题1的完整数学模型已经齐了：

{ρcp∂T∂t=1r∂∂r(kr∂T∂r)∂C∂t=1r∂∂r(D(C) r ∂C∂r)T(r,0)=28,C(r,0)=2.55∂T∂r∣0=∂C∂r∣0=0−k∂T∂r∣R=h[Tair(t)−TR],−D∂C∂r∣R=hm[CR−Cair(t)]⎩⎨⎧​ρcp​∂t∂T​=r1​∂r∂​(kr∂r∂T​)∂t∂C​=r1​∂r∂​(D(C)r∂r∂C​)T(r,0)=28,C(r,0)=2.55∂r∂T​​0​=∂r∂C​​0​=0−k∂r∂T​​R​=h[Tair​(t)−TR​],−D∂r∂C​​R​=hm​[CR​−Cair​(t)]​

一句话回顾整个逻辑链：

能量守恒（这圈存的热 = 进 − 出）＋ 傅里叶定律（热流 ∝ 温度梯度）→ 热方程；
质量守恒 ＋ 菲克定律 → 水分方程；两者结构完全相同；
初始条件交代出发点，中心对称条件和表面对流条件交代边界。

自测两题

1. 为什么方程右边要除以 rr、还要在括号里多乘一个 rr？（提示：圆筒的侧面积 2πrL2πrL 随 rr 变大）

2. 如果把 hh 调得非常大（比如无穷大），表面边界条件会变成什么样？（提示：TRTR​ 会被“逼”成等于 TairTair​——这叫第一类边界条件，即表面温度直接等于空气温度）

下一讲预告

方程有了，但计算机不会解“连续的”方程。下一讲（第 3 讲）我们做离散化：把药材切成 0.1 cm 一层的洋葱圈、把时间切成 1 秒一步，把偏导数变成“相邻两圈的差”，你就得到一张能逐步递推的数字表格计算法——这正是 1946 年人类第一次用计算机算出的第一道题（ENIAC 算氢弹）的同款方法。

另外我们还要处理一个小陷阱：r=0 处除以零怎么办。